Topologie 1/2.tex

   1 \section{Topologie}
   2
   3 Notation: X eine Menge, $\mathcal{P}(X)$ die Potenzmenge von X.
   4
   5 \begin{dfn}
   6     Eine \emph{Topologie} $\tau$ auf einer Menge X ist eine Teilmenge
   7     $\tau\subset\mathcal{P}(X)$ mit
   8     \begin{enumerate}
   9         \item $\emptyset, X \in \tau$
  10         \item Ist $I\subset \tau$, dann $\bigcup_{U\in I} U \in\tau$
  11         \item $\mdef{U_1, \ldots, U_n} \subset \tau$, dann
  12             $\bigcup_{i=1}^n U_i \in \tau$
  13     \end{enumerate}
  14     Das Paar $(X, \tau)$ ist dann ein \emph{topologischer Raum}, $U\in\tau$ heißt
  15     eine \emph{offene Teilmenge von $X$}.
  16 \end{dfn}
  17
  18 \begin{dfn}
  19     Sei $X$ eine Menge, $\tau_1$ und $\tau_2$ Topologien auf $X$.
  20     \begin{itemize}
  21         \item $\tau_1$ heißt \emph{feiner} als $\tau_2$, falls $\tau_2\subset\tau_1$
  22         \item $\tau_1$ heißt \emph{strikt feiner} als $\tau_2$, falls
  23             $\tau_2\subsetneq\tau_1$
  24         \item $\tau_1$ und $\tau_2$ heißen \emph{vergleichbar}, falls
  25             $\tau_1\subset\tau_2$ oder $\tau_2\subset\tau_1$
  26     \end{itemize}
  27 \end{dfn}
  28
  29 \newtheorem{bsps}[dfn]{Beispiele}
  30 \begin{bsps}
  31     \begin{enumerate}
  32         \item $(X,d)$ metrischer Raum und sei $\tau_d$ die Menge der offenen
  33             Teilmengen von $X$. Dann ist $\tau_d$ die \emph{metrische Topologie}
  34             auf $(X,d)$.
  35         \item $\mathcal{P}(X)$ ist eine Topologie auf $X$ (diskrete Topologie). Es
  36             ist die feinste aller Topologien.
  37         \item $\tau = \mdef{\emptyset, X}$ definiert eine Topologie auf X. Sie
  38             heißt die \emph{grobe Topologie}.
  39         \item $X=\mdef{1,2,3}$. Dann sind $\tau_1=\mdef{\emptyset,X,\mdef{1}}$ und
  40             $\tau_2=\mdef{\emptyset, X, \mdef{2}, \mdef{2,3}}$ Topologien auf $X$,
  41             die nicht vergleichbar sind. Dagegen ist
  42             $\mdef{\emptyset, X, \mdef{1}, \mdef{2}, \mdef{2,3}}$ keine Topologie.
  43         \item Sei $X$ eine Menge und
  44             $\tau = \mdef{\emptyset}\cup\mdef[U\subset X]{X\setminus U \ \text{ist endlich}}$.
  45             Das definiert eine Topologie auf $X$, die \emph{Endliche-Komplemente-Topologie}
  46     \end{enumerate}
  47 \end{bsps}
  48
  49 Im Fall von metrischen Räumen hat man die Topologie mit Hilfe der offenen Kugeln
  50 definiert, ähnlich\begin{dfn}
  51     Sei $X$ eine Menge. Eine \emph{Basis} $B$ einer Topologie auf $X$ ist eine
  52     Teilmenge $B\subset\potmenge{X}$ mit
  53     \begin{itemize}
  54         \item $\forall x\in X\ \exists U\in B$ mit $x\in U$
  55         \item Falls $U_1,U_2\in B$ und $x\in U_1 \cap U_2$, dann existiert ein
  56             $U_3 \in B$ mit $x\in U_3 \subset U_1\cap U_2$
  57     \end{itemize}
  58 \end{dfn}
  59
  60 \begin{stz}
  61     Sei $X$ eine Menge, $B\subset\potmenge{X}$ eine Basis. Sei
  62     $\tau\subset\potmenge{X}$ mit $U\in\tau$ genau dann, wenn es für jedes $x\in U$
  63     ein $V\in B$ gibt, mit $x\in V\subset U$. Dann ist $\tau$ eine Topologie auf $X$.
  64     Sie heißt die \emph{von $B$ erzeugte Topologie}.
  65
  66     \begin{proof}[Beweis]
  67         \begin{itemize}
  68             \item $\emptyset\in\tau$ klar.
  69             \item $X\in\tau$ klar (2.4).
  70             \item bla
  71         \end{itemize}
  72     \end{proof}
  73
  74 \end{stz}
  75
  76 \begin{lem}
  77     Sei $X$ eine Menge, $B\subset\potmenge{X}$ eine Basis und $\tau$ die von $B$
  78     erzeugte Topologie. Dann gilt: \[\tau = \mdef[\cup_{U\in I}U]{I\subset B}\]
  79
  80     \begin{proof}[Beweis]
  81         Analog zu Lemma 1.35 (ref).
  82     \end{proof}
  83 \end{lem}
  84
  85